ここ数ヶ月間ずっとログインできないままのロジクールウェブサポートについてサポートセンターに電話で問い合わせてみました。

オペレーターさんによると、

1. 今年の9月にシステムをリニューアルした
2. その際、旧システムからの移行が上手く行われず、以前取得したアカウントのID・パスワード情報が壊れた
3. 現在修正作業中

だそうです。

対処法はいくつかあり、

1. 以前登録したアカウントのメールアドレスとは別のメールアドレスでアカウントを再取得する（リニューアル後に作成されたアカウントは問題なくログイン出来るそう）
2. メール・電話などで旧アカウントの削除をお願いし、旧アカウントのメールアドレスでアカウントを再取得する
3. システムが修正されるのを待つ（3ヶ月以上直ってないけど）

自分はWebサービスに登録するメールアドレスを1つに統一したい派なので 2 の旧アカウント削除をお願いしました。

こだわりが無ければ 1 の別のメールアドレスでアカウント再取得が手っ取り早いと思います。